从幼儿园到八年级的美国数学课程焦点
2008年1月24日
——寻求一致性
这是继美国《学校数学的原则和标准（2000）》后，一份对数学教育极其富有影响力的重要文件。下面分四个方面简略地介绍有关这份文件的内容。
一、为什么美国需要《课程焦点》？
根据NCTM主席Francis (Skip) Fennell，美国的50个州中有49个州有自己的课程大纲，其中对每个年级都有30到100个教学目标，这对教师认识到底什么是真正重要的内容产生困惑。同时，由于3到8年级的学生要参加正式的考试，所以大部分教师采取了最简单的方法，就是考什么就教什么。但问题是，这些考试对学生来说真的就那么基本？真的反映了学生必须理解和掌握的重要的数学内容？课程焦点的目的就是为了引起一场讨论，以帮助州一级和地区一级的数学课程的领导者们及数学教师们确定什么是各个阶段最重要的数学内容，这样的讨论甚至是争论是非常必要的，这场讨论除应该包括教师外，还应该包括州和地区一级的领导者、教科书出版者和评价制定者。只有这样，我们才能保证所有的学生都有机会深刻地学习最重要的数学内容。
基于这样的考虑，NCTM在美国《学校数学的原则和标准（2000）》的基础上，发布了《从幼儿园到八年级的数学课程焦点——寻求一致性》（以下简称《课程焦点》），作为讨论什么是最重要的教学内容、什么是这个国家更集中、更和谐一致的课程的起点。
二、什么是美国课程焦点？
1．在考虑什么样的概念或课题能够成为课程焦点时，NCTM认为首先必须考虑的是：
⑴从数学上，是否对进一步的学习和对校内外的应用都是重要的；
⑵是否和已知的关于什么是数学学习相一致；
⑶是否和前后年级的数学内容逻辑上互相联系。
2．NCTM还认为，与课程焦点内容相匹配的教学应该溶入：
⑴运用数学解决问题；
⑵运用逻辑推理对过程和结果进行判断；
⑶通过设计多种表示和分析多种表示来学习数学、建立数学内部和外部的联系、以及交流互相之间的想法。
3．《课程焦点》具体地、明确地给出了各个年级的教学目标，以及它们如何与其他年级课程焦点相联系等。
首先，《课程焦点》对每个年级给出三个课程焦点，每个焦点的内容都来自《学校数学的原则和标准（2000）》。一般每一个焦点不止包括一个内容，这突出了课程焦点的综合性特点。《学校数学的原则和标准（2000）》所指出的五个内容是：数、运算、代数、几何、测度或数据分析和概率。
除此之外，《课程焦点》还指出各年级的焦点与其他年级之间的联系，体现数学学习的过程性。
下面以七年级课程焦点为例进行说明。
七年级课程焦点 | 与其他年级课程焦点的联系 |
l 数、运算、代数、几何：理解和运用包括相似在内的比例的知识； 学生应该拓展对“比”的认识，进一步理解比例并运用比例解决一步或多步的情境问题。学生应该能够应用比和比例解决百分比的问题，如打折、利率、税率、附加费用、以及增加或减少百分比的问题。 学生还应该能够解决相似形的问题，如利用相似比解决比例尺方面的问题，还应该会画比例关系、懂得单位变化率是相应直线的斜率。学生应该能够识别正比例关系（y/x = k, 或 y = kx）和反比例关系（xy = k, 或y = k/x）。 | l 测度和几何： 利用探究相似的物体，学生应把比例的知识应用到面积和体积上，他们应当理解如果相似物体的长度比例变了，相应的平方、立方的比例应当怎么变； 学生应把比例的知识应用于不同的情境，包括在解决问题的过程中进行不同单位之间的转换，如常速运动中的速率。 在求扇形的面积或按比例画图时，学生还应把比例的知识应用于圆的周长、半径和直径。 l 数和运算： 在四年级，学生会用等价的分数表示有限小数，现在学生会用除法把分数表示为小数，包括无限小数（这里应该是无限循环小数）。学生应当感到运用比例的方法是十分有用的，特别是包含百分数时。 当a和b都是分数时，学生应该能够把分数除法和解方程ax = b联系起来。 学生应进一步理解数的乘法和除法，并能够确定一个正整数是否为素数，如果不是素数，则能把这个数分解为素数的乘积。 l 数据分析： 学生应该能够利用比例的知识根据样本对总体进行估计。应该能够利用百分比制作直方图和饼图，或对直方图和饼图进行解释。 l 概率： 学生应该理解什么是等可能试验，及一个事件的理论概率应该是一个分数，即某事件可能出现的结果数/所有可能出现的结果数。 学生应该能够利用理论概率和比例的知识进行初步的预测。 |
l 测度、几何、代数：理解和运用公式计算三维物体的表面积和体积； 利用把二维和三维物体分解为小的图形元素，学生应该能够计算物体的表面积以及验证棱柱和圆柱的表面积和体积公式。如学生可以利用切割棱柱和圆柱的方法得到和理解它们的体积公式：体积=底面积×高，并应用公式解决问题。 同样对圆的面积进行分割并重组为一个近似的平行四边形。学生应该能够选择适宜的二维或三维图形建立真实世界物体的模型，并解决大量的（包括多步的）求圆的周长、面积和体积、以及棱柱和圆柱的表面积和体积的问题。 | |
l 数、运算、代数：理解和会进行有理数运算、会解一次方程； 学生应该拓展对有理数加、减、乘、除法及其性质的理解，利用把性质运用于计算和把负数置于情境问题（如借钱、海平面以上或以下）中，学生应该能够解释为什么加、减、乘、除法的法则是合理的。 学生应该能够运用有理数的运算建立和解决一次方程的问题，在解决问题的过程中，学生需要自己选择解方程的步骤及有效地运用这些步骤，并懂得是在运用等式的性质不断地用新的方式来表示方程，他们所得到的新方程的解就是原始方程的解。 |
三、怎样使用课程焦点？
NCTM所提出的这些课程焦点，是从幼儿园到八年级各个阶段最主要的教学目的和学习期望，而不应被认为是具体的各个年级教学目标的一个列表。
《课程焦点》指出了各个年级最重要的数学内容，它的对象不仅有教师，而且还有那些负责制定数学课程标准、编写数学教材、对学生学业进行评价的国家一级和地方一级的数学教育的领导者和政策制定者们，《课程焦点》将成为国家一级和地方一级制定下一轮数学课程的依据。
但是，《课程焦点》并不指出为了实现上面的课程焦点教师应该怎么教，也不包括教学中应使用的工具或教师的专业发展问题，《课程焦点》不能独立地被用做教学计划，它们也不回答像“我在周一应该做什么？”的问题。
然而，《课程焦点》所提出的问题应该引起一线教师、课程计划部门、政策制定部门和其他有关人士极大的注意。
为了取得最好的学习效果，应加强学生的理解、强调理解的深度和有效性，这样教师本身需要有对数学和数学思想、以及它们之间的关系的深刻理解，也就是说，基于课程焦点的教学需要对职前和在职的教师进行深层次的培训。
四、《课程焦点》和美国《学校数学的原则和标准（2000）》是什么关系？
首先，《课程焦点》是基于美国《学校数学的原则和标准（2000）》的，《课程焦点》完全支持这一原则和标准，《课程焦点》是这一原则和标准的继续。
在2000年的课程原则和标准中，已经包含了透彻的关于通过问题解决、推理与证明、交流、联系和表示的过程来学习数学的必要性的论述，也许在《课程焦点》对这些过程之中的某些部分论述得也很清楚，但是《课程焦点》的主要目的是数学内容，数学的过程性应该体现在实施的课程中，即在教学设计中应该强调让学生进行讨论和验证他们的数学思考、建立和分析不同的表示、运用数学解决问题、进行判断和作出决策。
《课程焦点》的公布，将推进关于“什么样的数学学生应当知道和会做”的讨论，在我们反思、修订和精致化数学课程、为学生建立高质量的数学教育的过程中，《课程焦点》的指导作用是不言而喻的。
